👤
LIFEVIZ
a fost răspuns

Rezolvaţi ecuaţia:
1+1/1+2 +1/1+2+3 +...+ 1/1+2+3+...+x = 200/101 , x aparţine lui N*
"/" - linie de fracţie

Răspuns :

RED12DOG34VIZ
[tex]\displaystyle 1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots +\frac{1}{1+2+3+\ldots x}=\frac{200}{101}[/tex].
Suma se scrie restrâns
[tex]\displaystyle\sum_{k=1}^x\displaystyle\frac{1}{1+2+\ldots k}=\sum_{k=1}^x\displaystyle\frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}}=\\=\sum_{k=1}^x\frac{2}{k(k+1)}=2\sum_{k=1}^x\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\\=2\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)=\\=2\left(1-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{2x}{x+1}[/tex]
Se obține ecuația
[tex]\frac{2x}{x+1}=\frac{200}{101}\Rightarrow 202x=200x+200\Rightarrow x=100[/tex]
folosesti suma lui Gauss pentru toate sumele
1+2= 2*3/2
1+2+3=3*4/2.........1+2+3+... x=x(x+1)/2
Stii ca 1 supra un nr. inseamna inversul acelui nr. 
deci, ex. devine 1+2/2*3+2/3*4+2/4*5+.......+2/x(x+1)=200/101
Il dam pe 2 factor comun
1+2(1/2*3+1/3*4+1/4*5+........+ 1/x(x+1)=200/101
Stii ca 1/2*3=1/2-1/3
1/3*4=1/3-1/4 s.a m.d
deci, 1+2(1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+....+1/x-1/(x+1))=200/101
in paranteza se reduc fractiile si ramane
1+2(1/2-1/(x+1))=200/101
rezolvi paranteza
1+2(x+1-2supra 2(x+1)=200/101
1+(x-1)/(x+1)=200/101
x-1 supra x+1=200/101
x-1 supra x+1=99/101
x=100
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari