1)a)Forma canonica a unei functii de gradul II este :[tex]f(x)=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2- \frac{\triangle}{4a} =>f(x)=x^2-2x+4=\\
=(x-1)^2+3[/tex]
b)Stim ca varful parabolei are coordonatele:[tex]V(- \frac{b}{2a} ;- \frac{\triangle}{4a} )=> \frac{b}{2} =7=>b=14[/tex]
c)[tex]V(- \frac{b}{2a} ;- \frac{\triangle}{4a} )=V(4;5)=> \frac{b}{2} =4=>b=8\\
\triangle=b^2-4ac=64-4c=> -\frac{\triangle}{4a}= \frac{4c-64}{4} =c-16=5=>c=21=>\\
f(x)=x^2-8x+21[/tex]
Exista o singura functie cu proprietatea din cerinta.
2)a)Intervalele de monotonie pot fi identificate usor folosind proprietatea derivatei functiei f sau raportandu-ne la varful parabolei.
Deoarece [tex]x_V= \frac{7}{2} [/tex] si a=1>0=> functia este descrescatoare pe (-infinit;7/2) si crecatoare pe (7/2;+infinit)
b)[tex]x_V= \frac{b}{2}=2=>b=4=>f(x)=x^2-4x+4 [/tex]
c)Functia de gradul doi este tangenta la axa Ox daca [tex]y_V=0=>\triangle =0=>49-4c=0=>c= \frac{49}{4} =>f(x)=x^2-7x+ \frac{49}{4}[/tex]
3)a)[tex]3x^2-10x+3=0=>x_1=3\ si \ x_2= \frac{1}{3} [/tex]
Daca x aparttine (-infinit;1/3)U(3;+infinit) atunci f(x)>0.
Daca x aprtine (1/3;3) atunci f(x)<0.
b)[tex]x_V=4=>f(4)=0=>16-24+c=0=>c=8=>\\
f(x)=x^2-6x+8[/tex]
c)f(2)=0=>-4-2b+c=0=>-2b+c=4
f(3)=0=>-9-3b+c=0=>-3b+c=9
Rezolvand sistemul de mai sus obtinem:
b=-5
c=-6
[tex]f(x)=-x^2+5x-6[/tex]
