Suma din membrul stang al egalitatii este suma primilor n+1 termeni ai unei progresii geometrice cu ratia q=2 si cu primul termen [tex]a_1=1.[/tex]
Formula pentru suma primilor n termeni ai progresiei geometrice este:
[tex]S_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}[/tex]. Folosind-o, egalitatea din enunt se poate scrie asa:
[tex]\dfrac{2^{n+1}-1}{2-1}=2047\Rightarrow 2^{n+1}=2048\Rightarrow 2^{n+1}=2^{11}\Rightarrow n=10[/tex].
Observatie: Suma din partea stanga a egalitatii date se poate calcula si cu cunostinte de clasa a V-a, astfel:
[tex]S=1+2+2^2+2^3+...+2^n\Rightarrow [/tex]
[tex]S+1=2+2+2^2+2^3+...+2^n
[/tex]
[tex]S+1=2\cdot2+2^2+2^3+...+2^n[/tex]
[tex]S+1=2^2+2^2+2^3+...+2^n[/tex]
[tex]S+1=2\cdot2^2+2^3+...+2^n[/tex]
[tex]S+1=2^3+2^3+2^4+...+2^n[/tex]
.........................................................
Si in final ajungem la [tex]S+1=2^{n+1}\Rightarrow S=2^{n+1}-1[/tex]
