[tex] \int\limits^1_0 {\frac{x}{(1+x)}} \, dx [/tex]
Adunăm un 1 la numărător şi-l scădem:
[tex]\frac{x}{(1+x)} = \frac{x+1-1}{x+1}[/tex]
[tex]=\frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} = 1- \frac{1}{x+1}[/tex]
Integrala va fi:
[tex] \int\limits^1_0 {(1- \frac{1}{x+1})} \, dx = \int\limits^1_0 {1} \,dx - \int\limits^1_0 { \frac{1}{x+1}} \,dx[/tex]
[tex] \int\limits^1_0 {1} \, dx= x|^{1}_{0} = 1-0=1[/tex]
Pentru a doua integrală este formula cu logaritm natural...
[tex] \int\limits^1_0 { \frac{1}{x+1}} = ln (x+1) |^{1}_{0} = ln 2 - ln1 = ln 2[/tex]
Dacă uiţi formula, poţi face prin metoda schimbării de variabilă, notându-l pe x+1=t <=> dx = dt
[tex] \int\limits^1_0 { \frac{1}{x+1}} \,dx = \int\limits^1_0 { \frac{1}{t}} \,dt = ln \ t |^{0}_{1}[/tex]
Îl înlocuieşti pe t cu x+1 şi se ajunge la acelaşi lucru.
