Reamintesc definitia divizibilitatii pe care o vom aplica : " Un numar natural a divide un numar natural n (se noteaza a/n) daca si numai daca exista un alt numar natural k astfel incat n=a·k (si invers daca n=a·k atunci a/n). Exemplu in cazul nostru (am luat a=5) daca 5/n atunci n=5k (si invers daca n=5·k atunci 5/n)
Se aplica si urmatoarele proprietati ale divizibilitatii numerelor naturale:
(1) Daca n∈N* atunci n/n
(2) Daca a/n atunci a/n·k unde a∈N* ; n∈N* si k∈N*
(2.1) Daca a/n atunci n=a·k ⇒n²=(a·k)²⇒ n²=a·(a·k²) ⇒ a/n² . Analog prin generalizare : daca a/n atunci n=a·k⇒n^n=(a·k)^n⇒n^n=a·[a^(n-1)·k^n] ⇒a/n^n
(4) Daca a/n si a/m atunci a/(n+m) unde a∈N* ;n∈N* si m∈N*
a) Daca 5/n si 5/75 atunci din (4) ⇒ 5/(n+75)
b) Daca 5/n atunci din (2) ⇒ 5/3n . Din (1) ⇒ 5/5 iar din (2.1) ⇒ 5/5^n ; din relatiile 5/3n si 5/5^n prin proprietatea (4) ⇒ 5/(3n+5^n)
c) Daca 5/n atunci din (2) ⇒ 5/7n ; din 5/7n si 5/20 prin (4)⇒ 5/(7n+20)
d) Daca 5/n atunci n=5k (k∈N*) ⇒ n²=(5k)² ⇒n²=25k² ⇒ 25/n² .Deoarece 25/n² si 25/1100 atunci prin (4) ⇒25/(n²+1100)
e) Daca 5/n si 5/10 atunci prin (4) ⇒ 5/(n+10) ⇒ n+10 = 5k (unde k∈N*) ⇒(n+10)²=(5k)² ⇒
(n+10)²=25k² ⇒25/(n+10)²
f) Daca 5/n atunci prin (2) ⇒ 5/12n ; daca 5/n ⇒ n=5k (k∈N*) ⇒ n²=(5k)² ⇒ n²=5·5·k² ⇒
n² =5·(5·k²) ⇒5/n² prin (2) ⇒ 5/7n² . Daca 5/12n si 5/7n² atunci prin (4) ⇒ 5/(12n+7n²)
