1) [tex]\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 3 +4\sqrt{3}} = \sqrt{4 +4\sqrt{3} + \sqrt{3}^2}[/tex]
L-am scris pe 7 ca 4+3 şi pe 3 ca [tex]\sqrt{3}^2[/tex] . Acum dăm factor comun:
[tex] \sqrt{4 +4\sqrt{3} + \sqrt{3}^2} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+ \sqrt{3}[/tex]
La fel procedăm şi pentru celălalt termen:
[tex]\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{4 -4\sqrt{3} + \sqrt{3}^2} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = 2-\sqrt{3}[/tex]
Suma lor o să fie [tex]2+\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} = 4[/tex], care este număr natural.
2) Primul termen poate fi amplificat cu conjugata numitorului şi obţinem:
[tex] \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1} } = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}+\sqrt{1})(\sqrt{2}-\sqrt{1}) } = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1} = \sqrt{2}-1[/tex]
Amplificăm şi al doilea termen cu conjugata numitorului:
[tex]\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}[/tex]
Procedăm la fel şi pentru al 3-lea şi obţinem:
[tex] \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} = \sqrt{4}-\sqrt{3}[/tex]
La fel şi pentru celălalte.... Vei observa că adunându-le se simplifică şi rămâi la final cu:
[tex]1 + \sqrt{100} = 11[/tex], care aparţine N.
3) (Îl separăm pe 1 de restul adunările, ca să se simplifice calculele şi îl adăugăm la final)
Termenii acelor adunări se află într-o progresie geometrică, în care:
[tex]b_{1}= \frac{1}{2}\\ \\
q=\frac{1}{2}\\ \\
b_{n} = \frac{1}{2^{2008}} \\ \\ n=2008[/tex]
Pentru suma termenilor unei progresii geometrice avem formula:
[tex]S = b_{1} \frac{q^n-1}{q-1} = \frac{1}{2} * \frac{\frac{1}{2}^{2008}-1}{-\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2}^{2008}[/tex]
Acum îl adunăm pe acel 1 pe care îl lăsasem în urmă:
[tex]= 2- \frac{1}{2}^{2008}[/tex]
[tex]\frac{1}{2}^{2008} < 1 \\
\frac{1}{2}^{2008} > 0[/tex]
De aici rezultă concluzia... (2 minus ceva mai mic decât 1 şi mai mare decât 0 aparţine (1,2)
