👤
a fost răspuns

[tex] \int\ \frac{1+ \sqrt{x} }{1+x} \, dx [/tex] Doresc prin schimbare de variabila

Răspuns :

C10H15NVIZ
[tex]\int \frac{1+\sqrt{x}}{1+x) } = \int ( \frac{1}{1+x)} + \frac{\sqrt{x}}{1+x) } ) = \int \frac{1}{1+x} + \int \frac{\sqrt{x}}{1+x}[/tex]

Acum le luăm separat:

1. [tex] \int \frac{1}{1+x} \ dx; \\ notam \ 1+x = t <=> (1+x)' = t' <=> dx = dt; \\ \int \frac{1}{t} =  ln \ t = ln (x+1) [/tex]

2. [tex] \int \frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx = \int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}^2} \ dx; \\ notam \sqrt{x} = t => \sqrt{x}' = t' <=> \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt;[/tex]

Modificăm integrala iniţială într-un mod convenabil, ca să putem folosi ce am calculat mai sus:

[tex]\int \frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx = \int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}^2} \ dx; \\ notam \sqrt{x} = t => \sqrt{x}' = t' <=> \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt; \\ \int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}^2} \ dx = \int \frac{(2\sqrt{x}) \sqrt{x}}{(2\sqrt{x})(1+\sqrt{x}^2)} \ dx [/tex]

(am pus între paranteze ce am adăugat, ca să se observe - acel [tex]2 \sqrt{2} [/tex]-)

Înlocuim [tex] \frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex] cu dt (cel rezultat din schimbarea de variabilă):

[tex]\int \frac{2\ t \ t}{1+t^2} dt = 2 \int \frac{ t^2}{1+t^2} dt = 2 \int 1- \frac{1}{1+t^2} \ dt = 2 \int 1 dt - 2 \int \frac{1}{1+t^2} dt \\ \\ =2t - 2 \int \frac{1}{1+t^2} dt \\ \\ \int \frac{1}{1+t^2} dt = arctg \ t[/tex]

De aici presupun că te descurci..

le: aparent site-ul are buguri; văd că s-au bulit formulele ... o_O
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari