👤

aflati nr. z-4,u-2,s<6
Care este nr ?
u-8,z-4,s>5


Răspuns :

p ∈ N ∩ G, atunci p ∈ H, prin urmare p + a ∈ H ¸si (p + a) ′ = a + 1 p ∈ H. Deducem c˘a a + m ¸si a + 1 n sunt ˆın H, deci (a + m) ∗ a + 1 n = a + m n ∈ H, adic˘a q ∈ H ¸si astfel Q ∩ G ⊂ H. XII.122. Fie n ∈ N, n ≥ 2 ¸si polinomul f = Xn − 2nXn−1 + (2n 2 − 4)Xn−2 + a3Xn−3 +. . .+an ∈ C[X]. Demonstrat¸i c˘a f are toate r˘ad˘acinile reale dac˘a ¸si numai dac˘a n = 2. Florin St˘anescu, G˘ae¸sti Solut¸ie. Dac˘a n = 2, atunci f = X2−4X+4 are r˘ad˘acinile x1 = x2 = 2. Reciproc, fie x1, x2, . . . , xn r˘ad˘acinile lui f, presupuse reale. Cum (x1 + x2 + . . . + xn) 2 ≤ n(x 2 1 + x 2 2 + . . . + x 2 n), rezult˘a c˘a 4n 2 ≤ 8n, deci n ≤ 2 ¸si atunci n = 2. XII.123. Calculat¸i I = Z arccos √ 65 9 0 tg x √ sin xdx. Vasile Chiriac, Bac˘au Solut¸ie. Cu schimbarea de variabil˘a sin x = s, obt¸inem c˘a I = Z 4 9 0 s √ s 1 − s 2 ds. Apoi, substitut¸ia √ s = t conduce la I = Z 2 3 0 2t 4 1 − t 4 dt = −2t + arctg t − 1 2 ln 1 − t 1 + t 2 3 0 = − 4 3 + arctg 2 3 + ln √ 5. XII.124. Fie f : R → R o funct¸ie continu˘a cu proprietatea c˘a (f ◦ f)(x) = sin x, ∀x ∈ R. Demonstrat¸i c˘a Z 1 0 f(x)dx ≤ 1. Dumitru Cr˘aciun, F˘alticeni Solut¸ie. Din (f ◦f)◦f = f ◦(f ◦f), deducem c˘a sin f(x) = f(sin x), ∀x ∈ R; atunci f(sin x) ≤ 1, ∀x ∈ R, prin urmare f(sin x) · cos x ≤ cos x, ∀x ∈ h 0, π 2 i . Integrˆand pe h 0, π 2 i , rezult˘a c˘a Z π 2 0 f(sin x) · (sin x) ′ dx ≤ sin x π 2 0 , adic˘a Z 1 0 f(x)dx ≤ 1.
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari