[tex]\text{PP RA }\sqrt5\in\mathbb{Q}\Leftrightarrow \sqrt5=\frac{m}{n} ,m,n\in\mathbb{Z},\ (m,n)=1\Leftrightarrow\\
5=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=5n^2\\
\text{Deoarece $(m,n)=1$ atunci $(m^2,n^2)=1$}\\
$Din ultimele doua relatii rezulta $ 5\ |\ m^2\Rightarrow 5|m\Rightarrow m=5k,k\in\mathbb{Z},\\$ si $ (k,n)=1\\
m^2=5n^2\Rightarrow 25k^2=5n^2\Rightarrow 5k^2=n^2\\
\Rightarrow 5|n^2\Rightarrow 5|n[/tex]
Am obtinut o codradictie, intrucat am gasit ca 5 divide si m si n si am considerat (m,n)=1.
Deci presupunerea facuta este falsa. Deci √5 nu apartine multimii numerelor rationale.
Pe parcursul demonstratiei am folosit de doua ori implicatia:
[tex]5\ |\ m^2\Rightarrow 5|m[/tex]
Aceasta se demonstreaza luand valorile lui m de forma:
m=5k
m=5k+1
m=5k+2
m=5k+3
m=5k+4
prin calcul se vede ca singra posibilitate ca 5 sa divida m² este pentru m=5k, deci pentru m divizibil cu 5.
