(1) Presupunem prin absurd ca radical din 3 este un numar rational (pozitiv).
Il scriem atunci sub forma de fractie *ireductibila*
radical(3) = a/b,
unde a,b sunt numere naturale nenule.
(Incercam sa dam de o contradictie.)
Ridicam la patrat si inmultim cu numitorul bb (adica b patrat) pentru a obtine:
3 bb = aa .
3 este un numar prim care divide produsul a.a,
deci divide pe cel putin unul din factori,
deci 3 divide a.
Scriem atunci a = 3a' cu a' natural nenul si dam de
3 bb = 3a' 3a' .
Simplificam si dam de
bb = 3 a'a' .
Deci 3-ul din membrul drept divide produsul b.b, deci pe cel putin unul din factori, deci 3 divide b.
Am ajuns la concluzia ca 3 divide atat a, cat si b,
deci fractia ireductibila a/b cu care am plecat este de fapt reductibila.
Contradictie.
Presupunerea (prin absurd) facuta este deci falsa.
Deci radical(3) este un numar irational.
(2) Se copiaza cele de mai sus si peste tot unde am scris acel 3 (numar prim) scriem de data asta 5 (numar prim).
