Răspuns :
Presupunem prin absurd ca √3 este un numar rational (pozitiv).
Il scriem atunci sub forma de fractie *ireductibila*
√3 = a/b, unde a,b sunt numere naturale nenule.
ridicam la patrat si inmultim cu numitorul b*b:
3 b*b = a*a .
3 este un numar prin care divide a*a,
deci divide pe cel putin unul din factori ⇒deci 3 divide a.
rezulta ca a = 3a' cu a' natural nenul si dam de
3 b*b = 3a' 3a' .
bb = 3 a'a' .
Deci 3-ul din membrul drept divide produsul b.b, deci pe cel putin unul din factori, deci 3 divide b.
Am ajuns la concluzia ca 3 divide atat a, cat si b,
deci fractia ireductibila a/b cu care am plecat este de fapt reductibila.
Contradictie. Deci √3 este un numar irational.
Presupunerea facuta este deci falsa.
Presupunem prin absurd ca √5 este un numar rational (pozitiv).
Il scriem atunci sub forma de fractie *ireductibila*
√5 = a/b, unde a,b sunt numere naturale nenule.
ridicam la patrat si inmultim cu numitorul b*b:
5 b*b = a*a .
5 este un numar prin care divide a*a,
deci divide pe cel putin unul din factori ⇒deci 5 divide a.
rezulta ca a = 5a' cu a' natural nenul si dam de
5 b*b = 5a' 5a' .
bb = 5 a'a' .
Deci 5-ul din membrul drept divide produsul b.b, deci pe cel putin unul din factori, deci 5 divide b.
Am ajuns la concluzia ca 5 divide atat a, cat si b,
deci fractia ireductibila a/b cu care am plecat este de fapt reductibila.
Contradictie.Deci √5 este un numar irational.
Presupunerea facuta este deci falsa.
Presupunem prin absurd ca √7 este un numar rational (pozitiv).
Il scriem atunci sub forma de fractie *ireductibila*
√7 = a/b, unde a,b sunt numere naturale nenule.
ridicam la patrat si inmultim cu numitorul b*b:
7 b*b = a*a .
7 este un numar prin care divide a*a,
deci divide pe cel putin unul din factori ⇒deci 7 divide a.
rezulta ca a = 7a' cu a' natural nenul si dam de
7 b*b = 7a' 7a' .
bb = 7 a'a' .
Deci 7-ul din membrul drept divide produsul b.b, deci pe cel putin unul din factori, deci 7 divide b.
Am ajuns la concluzia ca 7 divide atat a, cat si b,
deci fractia ireductibila a/b cu care am plecat este de fapt reductibila.
Contradictie.Deci √7 este un numar irational.
Presupunerea facuta este deci falsa.
Presupunem prin absurd ca 1 + √2 este numar rational.
Atunci scazand 1 din el dam tot de un numar rational.
Deci √2 este numar rational. Contradictie cu cele aratate la mai sus la √3 sau√5 sau √7
Deci 1 + √2 este un numar irational.
Presupunerea facuta este deci falsa.
Presupunem prin absurd ca
√2 + √3 este un numar rational.
Il inmultim cu el insusi si obtinem tot un numar rational pentru ca produsul a doua numere rationale este rational.
Deci 2 + 2√6 +3 =5+2√6 este un numar rational.
Scadem 5 si impartim la doi pentru a da de un nou numar rational √6
De acum aici putem proceda ca la celelalte nr dinainte avand grija sa ne legam de divizibilitatea cu un numar prim, de exemplu cu 2 sau 3 intr-o relatie de forma 2.3.b.b = a.a
Obtinem contradictia.
Presupunerea facuta este deci falsa.
Deci √2 + √3 este un numar irational.
Il scriem atunci sub forma de fractie *ireductibila*
√3 = a/b, unde a,b sunt numere naturale nenule.
ridicam la patrat si inmultim cu numitorul b*b:
3 b*b = a*a .
3 este un numar prin care divide a*a,
deci divide pe cel putin unul din factori ⇒deci 3 divide a.
rezulta ca a = 3a' cu a' natural nenul si dam de
3 b*b = 3a' 3a' .
bb = 3 a'a' .
Deci 3-ul din membrul drept divide produsul b.b, deci pe cel putin unul din factori, deci 3 divide b.
Am ajuns la concluzia ca 3 divide atat a, cat si b,
deci fractia ireductibila a/b cu care am plecat este de fapt reductibila.
Contradictie. Deci √3 este un numar irational.
Presupunerea facuta este deci falsa.
Presupunem prin absurd ca √5 este un numar rational (pozitiv).
Il scriem atunci sub forma de fractie *ireductibila*
√5 = a/b, unde a,b sunt numere naturale nenule.
ridicam la patrat si inmultim cu numitorul b*b:
5 b*b = a*a .
5 este un numar prin care divide a*a,
deci divide pe cel putin unul din factori ⇒deci 5 divide a.
rezulta ca a = 5a' cu a' natural nenul si dam de
5 b*b = 5a' 5a' .
bb = 5 a'a' .
Deci 5-ul din membrul drept divide produsul b.b, deci pe cel putin unul din factori, deci 5 divide b.
Am ajuns la concluzia ca 5 divide atat a, cat si b,
deci fractia ireductibila a/b cu care am plecat este de fapt reductibila.
Contradictie.Deci √5 este un numar irational.
Presupunerea facuta este deci falsa.
Presupunem prin absurd ca √7 este un numar rational (pozitiv).
Il scriem atunci sub forma de fractie *ireductibila*
√7 = a/b, unde a,b sunt numere naturale nenule.
ridicam la patrat si inmultim cu numitorul b*b:
7 b*b = a*a .
7 este un numar prin care divide a*a,
deci divide pe cel putin unul din factori ⇒deci 7 divide a.
rezulta ca a = 7a' cu a' natural nenul si dam de
7 b*b = 7a' 7a' .
bb = 7 a'a' .
Deci 7-ul din membrul drept divide produsul b.b, deci pe cel putin unul din factori, deci 7 divide b.
Am ajuns la concluzia ca 7 divide atat a, cat si b,
deci fractia ireductibila a/b cu care am plecat este de fapt reductibila.
Contradictie.Deci √7 este un numar irational.
Presupunerea facuta este deci falsa.
Presupunem prin absurd ca 1 + √2 este numar rational.
Atunci scazand 1 din el dam tot de un numar rational.
Deci √2 este numar rational. Contradictie cu cele aratate la mai sus la √3 sau√5 sau √7
Deci 1 + √2 este un numar irational.
Presupunerea facuta este deci falsa.
Presupunem prin absurd ca
√2 + √3 este un numar rational.
Il inmultim cu el insusi si obtinem tot un numar rational pentru ca produsul a doua numere rationale este rational.
Deci 2 + 2√6 +3 =5+2√6 este un numar rational.
Scadem 5 si impartim la doi pentru a da de un nou numar rational √6
De acum aici putem proceda ca la celelalte nr dinainte avand grija sa ne legam de divizibilitatea cu un numar prim, de exemplu cu 2 sau 3 intr-o relatie de forma 2.3.b.b = a.a
Obtinem contradictia.
Presupunerea facuta este deci falsa.
Deci √2 + √3 este un numar irational.
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!