Notam cu O punctul de intersectie al diagonalelor trapezului.
Triunghiurile OAB si ODC sunt dreptunghice isoscele
OE si OG sunt mediane
Rezulta ca OG si OE sunt si inaltimi.
EG este inaltime in trapez
HF este linie mijlocie in trapez
EG⊥HF
Dar mediana in triunghiul dreptunghic este jumatate din ipotenuza.
Asadar EG=1/2AB+1/2CD=1/2(AB+CD)=HF (intrucat HF este lm in trapez)
Aria trapezului este inaltimea * linia mijlocie=EG*HF=EG² (am demonstrat b)
EF linie mijlocie in BAC => EF || AC
HG linie mijlocie in DAC => HG || AC
Rezulta EF||HG
Analog HE||GF
REzulta ca HEFG paralelogram.
HEFG este si dreptunghi si romb deoarece are diagonalele congruente si perpendiculare, asa cum se vede din prima parte a demonstratiei
Rezulta ca HEFG este patrat
