👤
a fost răspuns

Să se arate că un triunghi ABC în care are loc relația sin(C/2)=c/(a+b) este isoscel. (a=BC, b=AC, c=AB)

Răspuns :

GETATOTANVIZ
cu teorema  sin :   a / sinA   = b  / sinB   = c /sinC  = 2R 
a = 2RsinA          ;  b = 2R sinB         ; c = 2RsinC 
sin C / 2 =  2RsinC    / 2R · ( sinA + sinB ) 
sinC/2  = sin C    / ( sinA + sinB )                dar sinC = sin(2 · C /2 ) =
                                                                        = 2·sinC / 2 · cosC / 2 
sin C /2  = 2 ·sinC /2 · cosC /2     /  ( sinA + sinB ) 
1 = 2· cosC / 2        /  ( sinA + sinB ) 
sinA + sinB = 2· cos C / 2         ; in Δ  : A + B + C = 180 
2sin ( A + B ) / 2 · cos( A - B ) / 2  = 2 · cosC / 2 
 sin ( A + B ) / 2 · cos( A - B ) / 2  = cosC / 2 
                  sin( A + B ) / 2  = sin( 180 - C ) /2 =  sin ( 90 -  C / 2 ) = cosC / 2 
          ↓
   cosC /2  · cos( A - B ) / 2  = cos C / 2   
     cos( A - B ) / 2  =  1  dar  1 = cos0 
cos( A - B ) / 2 = cos 0 ⇒           A - B = 0 
A =B  ⇒ Δ ABC isoscel , de baza AB


INCOGNITOVIZ
[tex]\sin\frac{C}{2}=\sqrt\frac{1-\cos C}{2}=\sqrt\frac{1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{2}=\sqrt\frac{\frac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2ab}}{2}=\\=\sqrt\frac{c^2-(a-b)^2}{4ab}=\frac{c}{a+b} \Leftrightarrow\\ \frac{c^2-(a-b)^2}{4ab}=\frac{c^2}{(a+b)^2}\Leftrightarrow\\ c^2(a+b)^2-[(a-b)(a+b)]^2=4abc^2\Leftrightarrow\\ a^2c^2+2abc^2+b^2c^2-[(a-b)(a+b)]^2=4abc^2\Leftrightarrow\\ a^2c^2-2abc^2+b^2c^2=[(a-b)(a+b)]^2\Leftrightarrow\\ c^2(a-b)^2=[(a-b)(a+b)]^2\Leftrightarrow c^2=(a+b)^2\text{ sau }a-b=0\\ [/tex]
Prima varianta nu se poate realiza intrucat au loc inegalitatatile triunghiulare, ramane a doua valabila, adica:
a-b=0 ⇒ a=b
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari