Ai o posibila metoda de rezolvare mai jos.
Numaram cifrele in grupele de o cifra , apoi in grupele de 2 cifre,..., pana ne apropiem de 2013 cifre :
De la 1 la 9 avem 1 de 2, 2 de 2, 3 de 3 , .... , 9 de 9 deci numarul de cifre este dat de suma Gauss
1+2+..+9=(9+1)*9/2=45 cifre
De la 10 la 99 avem 10 de 10, 11 de 11, 12 de 12 , .... , 99 de 99 deci numarul de cifre este dat de progresia aritmetica luata de 2 ori (numerele au 2 cifre)
2*(10+11+..+99)=2*(10+99)*90/2=9810 cifre
45+9810=9855 > 2013>45 rezulta ca a 2013-a cifra este intr-o grupa ce contine numar cu 2 cifre
2013-45=1968 cifre aflate in grupe de numere de 2 cifre
De la 10 la n , unde n=abbarat (numar de 2 cifre) avem 2*(10+11+...+n) = 2*(10+n)(n-9)/2 = (10+n)(n-9) cifre (1)
Cautam cel mai apropiat produs (1) de 1968 rezulta (10+n)(n-9)=n^2 + n – 90 <= 1968< (10+n+1)(n+1-9)
44^2 =1936 < 1968 < 2025=45^2
Verificam n=44 rezulta (10+44)(44-9)=1890<2013<(10+45)(45-9)=1980 (A)
Deci de la 1 la 44 avem: de la 1 la 9 sunt 45 iar de 10 la 44 sunt (10+44)(44-9)=1890, in total 45 + 1890=1935 cifre
2013-1935=78 cifre vor fi continute in grupele de 45
78:2=39 grupe complete de 45 deci cifra de pe pozitia 2013 este 5
