👤
a fost răspuns

Sa se arate ca numarul n*(n+1)*(n+2) se divide cu 6 pt oricare n ∈N
As dori un raspuns complet , Multumesc!

Răspuns :

MORWANNEGVIZ
Problema de divizibilitate are aplicații în relația de consecutivitate.
Știm că  din oricare 3 numere consecutive (n, n+1, n+2), cel puțin unul divide pe 3, pentru că, conform teoremei împărțirii cu rest, resturile posibile la împărțirea la 3 sunt 0,1,2, deci dacă avem rest0, avem împărțire exactă și divizibilitate.
Cum unul din numere divide pe 3, rezultă că n * n+1 * n+2 divide pe 3
Din oricare 3 numere consecutive naturale, cel puțin unul (pot fi și 2) divide pe 2, adică cel puțin unul este par
deci n sau n+1 divid pe 2 obligatoriu
Cum avem în cele trei numere unul care divide pe 3 și cel puțin altul care divide pe 2, rezultă că produsul este divizibil cu 6.
ALBASTRUVERDE12VIZ
[tex]Produsul~oricaror~doua~numere~naturale~consecutive~se \\ \\ divide~cu~2. ~Deci~n(n+1)~ \vdots ~2,~si,~prin~urmare~n(n+1)(n+2)~ \vdots ~2. \\ \\ Prin~impartirea~unui~numar~natural~la~3~putem~obtine~restului~0,1~ \\ \\
si~2.~Deci~un~numar~natural~are~una~din~formele~M_3~;~M_3+1~;~ \\ \\ M_3+2. [/tex]

[tex]n=M_3 \Rightarrow n ~ \vdots~3 \Rightarrow n(n+1)(n+2)~ \vdots ~3 ,~iar~cum~(2,3)=1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow n(n+1)(n+2) ~ \vdots~6. \\ \\ n=M_3+1 \Rightarrow n+2 ~ \vdots~3 \Rightarrow n(n+1)(n+2) ~ \vdots~3,~iar~cum~(2,3)=1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow n(n+1)(n+2)~ \vdots~6. \\ \\ n=M_3+2 \Rightarrow n+1~ \vdots ~3 \Rightarrow n(n+1)(n+2)~ \vdots~3.~iar~cum~(2,3) =1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow n(n+1)(n+2)~ \vdots ~6. \\ \\ In~concluzie~n(n+1)(n+2)~ \vdots ~6~oricare~ar~fi~n \in N.[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari