Răspuns :
[tex]1) (x_n): 1,2,4,7,11,16\ ...\\
\text{Relatia de recurenta este:}\\
x_n=x_{n-1}+(n-1),x_1=1\\
\text{ Observam ca au loc:}\\
x_2=x_1+1\\
x_3=x_2+2\\
x_4=x_3+3\\
..................\\
x_n=x_{n-1}+(n-1)\\
\text{Adunand relatiile membru cu membru, observam ca $x_i$ se reduc si }:\\
x_n=x_1+1+2+3+...+(n-1)=1+\frac{n(n-1)}{2},\ \forall\ n\geq2.
[/tex]
[tex]2) (y_n):1,2,4,8,15,26,\ ...\\ \text{Relatia de recurenta este: }\\ y_n=y_{n-1}+x_{n-1}=y_{n-1}+[1+\frac{n(n-1)}{2}],\ y_1=1;\\ \text{Observam ca }\\ y_2=y_1+x_1\\ y_3=y_2+x_2\\ y_4=y_3+x_3\\ .....................\\ y_n=y_{n-1}+x_{n-1}\\ \text{Adunam relatiile membru cu membru si obtinem: }\\ y_n=y_1+x_1+x_2+...+x_{n-1}=1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}(1+\frac{i(i-1)}{2})=\\ =1+n-1+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n-1}i^2-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n-1}i=\\ =n+\frac{(n-1)n(2n-1)}{12}-\frac{n(n-1)}{4}[/tex]
[tex]4)(x_n):\ 1,2,3,6,36,1296,....\\ \text{Observam ca, incepand cu al patrulea termen,
fiecare termen este }\\ \text{produsul predecesorilor sai si ca primii 3 termeni nu respecta aceasta }\\ \text{regula. Asadar,}\\\forall\ n\ \textgreater \ 3\\ x_{n+1}=x_1x_2...x_{n-1}x_n=(x_1x_2...x_{n-1})x_n=x_nx_n=x_n^2 \\ x_{n+1}=x_n^2,\ \forall\ n\ \textgreater \ 3,x_1=1,x_2=2,x_3=3\\ x_4=6\Rightarrow x_5=6^2\Rightarrow x_6=(6^2)^2=6^4\\ \text{Se demonstreaza prin inductie ca } x_n=6^{2^{n-4}},\ \forall\ n\geq4. [/tex]
[tex]5) (x_n):\ 1,2,3,6,12,...\\ \text{Observam ca, incepand cu al treilea termen, fiecare termen este }\\ \text{suma predecesorilor sai si ca primii 2 termeni nu respecta aceasta }\\ \text{regula. Asadar,}\\ x_n=x_1+x_2+...+x_{n-1},\forall\ n\ \textgreater \ 2\\ x_{n+1}=x_1+x_2+...+x_{n-1}+x_n=(x_1+x_2+...+x_{n-1})+x_n\\ =x_n+x_n=2x_n\\ x_{n+1}=2x_n,\forall\ n\ \textgreater \ 2\\ x_4=2x_3=6,\ x_5=2x_4=12,\ x_6=2x_5=24,\ ...etc\\ \text{Se demonstreaza prin inductie ca }x_n=6\cdot2^{n-4},\ \forall n\ \geq4[/tex]
La sirul lui fibonacci, asa cum ai scris recurenta este
[tex]x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}[/tex]
Unei astfel de recurente i se asociaza o ecuatie numita ecuatia caracteristica:
[tex]r^2=r+1[/tex]
Se rezolva ecuatia si se gasesc solutiile
[tex]r_1=\frac{1+\sqrt5}{2},r_1=\frac{1-\sqrt5}{2}[/tex]
Acum avem suficiente date sa scriem formula termenului general care este:
[tex]x_n=c_1(\frac{1+\sqrt5}{2})^n+c_2(\frac{1-\sqrt5}{2})^n[/tex]
Mai trebuie sa aflam c1, c2, care se afla aplicand formula de mai sus pentru (conditiile initiale):x1=x2=1 si se obtine:
[tex]c_1=\frac{1}{\sqrt5},c_2=-\frac{1}{\sqrt5}[/tex]
Astfel, putem scrie termenul general:
[tex]x_n=\frac{1}{\sqrt5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n-\frac{1}{\sqrt5}(\frac{1-\sqrt5}{2})^n[/tex]
Ramane sa mai faci tu calculele, eventual sa te uiti intr-un manual de-a XI-a sa vezi mai clar formulele si alte recurente.
[tex]2) (y_n):1,2,4,8,15,26,\ ...\\ \text{Relatia de recurenta este: }\\ y_n=y_{n-1}+x_{n-1}=y_{n-1}+[1+\frac{n(n-1)}{2}],\ y_1=1;\\ \text{Observam ca }\\ y_2=y_1+x_1\\ y_3=y_2+x_2\\ y_4=y_3+x_3\\ .....................\\ y_n=y_{n-1}+x_{n-1}\\ \text{Adunam relatiile membru cu membru si obtinem: }\\ y_n=y_1+x_1+x_2+...+x_{n-1}=1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}(1+\frac{i(i-1)}{2})=\\ =1+n-1+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n-1}i^2-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n-1}i=\\ =n+\frac{(n-1)n(2n-1)}{12}-\frac{n(n-1)}{4}[/tex]
[tex]4)(x_n):\ 1,2,3,6,36,1296,....\\ \text{Observam ca, incepand cu al patrulea termen,
fiecare termen este }\\ \text{produsul predecesorilor sai si ca primii 3 termeni nu respecta aceasta }\\ \text{regula. Asadar,}\\\forall\ n\ \textgreater \ 3\\ x_{n+1}=x_1x_2...x_{n-1}x_n=(x_1x_2...x_{n-1})x_n=x_nx_n=x_n^2 \\ x_{n+1}=x_n^2,\ \forall\ n\ \textgreater \ 3,x_1=1,x_2=2,x_3=3\\ x_4=6\Rightarrow x_5=6^2\Rightarrow x_6=(6^2)^2=6^4\\ \text{Se demonstreaza prin inductie ca } x_n=6^{2^{n-4}},\ \forall\ n\geq4. [/tex]
[tex]5) (x_n):\ 1,2,3,6,12,...\\ \text{Observam ca, incepand cu al treilea termen, fiecare termen este }\\ \text{suma predecesorilor sai si ca primii 2 termeni nu respecta aceasta }\\ \text{regula. Asadar,}\\ x_n=x_1+x_2+...+x_{n-1},\forall\ n\ \textgreater \ 2\\ x_{n+1}=x_1+x_2+...+x_{n-1}+x_n=(x_1+x_2+...+x_{n-1})+x_n\\ =x_n+x_n=2x_n\\ x_{n+1}=2x_n,\forall\ n\ \textgreater \ 2\\ x_4=2x_3=6,\ x_5=2x_4=12,\ x_6=2x_5=24,\ ...etc\\ \text{Se demonstreaza prin inductie ca }x_n=6\cdot2^{n-4},\ \forall n\ \geq4[/tex]
La sirul lui fibonacci, asa cum ai scris recurenta este
[tex]x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}[/tex]
Unei astfel de recurente i se asociaza o ecuatie numita ecuatia caracteristica:
[tex]r^2=r+1[/tex]
Se rezolva ecuatia si se gasesc solutiile
[tex]r_1=\frac{1+\sqrt5}{2},r_1=\frac{1-\sqrt5}{2}[/tex]
Acum avem suficiente date sa scriem formula termenului general care este:
[tex]x_n=c_1(\frac{1+\sqrt5}{2})^n+c_2(\frac{1-\sqrt5}{2})^n[/tex]
Mai trebuie sa aflam c1, c2, care se afla aplicand formula de mai sus pentru (conditiile initiale):x1=x2=1 si se obtine:
[tex]c_1=\frac{1}{\sqrt5},c_2=-\frac{1}{\sqrt5}[/tex]
Astfel, putem scrie termenul general:
[tex]x_n=\frac{1}{\sqrt5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n-\frac{1}{\sqrt5}(\frac{1-\sqrt5}{2})^n[/tex]
Ramane sa mai faci tu calculele, eventual sa te uiti intr-un manual de-a XI-a sa vezi mai clar formulele si alte recurente.
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!