a)
[tex](-1)*3=-3-3+9+6=9[/tex]
b)
[tex]x*y=x(y+3)+3y+9-3=x(y+3)+3(y+3)-3= \\ =(x+3)(y+3)-3[/tex]
c)
Notam elementul neutru cu e, asta inseamna ca
[tex]x*e=e*x=x[/tex] pentru orice x real. Legea este vizibil comutativa, vom calcula:
[tex]xe+3x+3e+6=x \\ xe+3x+3e+6-x=0 \\ xe+2x+3e+6=0 \\ x(e+2)+3(e+2)=0 \\ (e+2)(x+3)=0 \\ e=-2[/tex]
Pentru ca ne cere oricare ar fi x, nu mai analizam si a doua paranteza. Deci elementul neutru este -2.
d)
Legea este asociativa inseamna ca
[tex](x*y)*z=x*(y*z)[/tex]
Vom calcula individual pentru fiecare si va trebui sa ajungem la acelasi rezultat.
Pentru partea stanga:
[tex](x*y)*z=(xy+3x+3y+6)*z= \\ =(xy+3x+3y+6)z+3(xy+3x+3y+6)+3z+6= \\ xyz+3xz+3yz+6z+3xy+9x+9y+18+3z+6= \\ xyz+3xy+3xz+3yz+9x+9y+9z+24[/tex]
Pentru partea din dreapta avem:
[tex]x*(y*z)=x*(yz+3y+3z+6)= \\ x(yz+3y+3z+6)+3x+3(yz+3y+3z+6)+6= \\ xyz+3xy+3xz+6x+3x+3yz+9y+9z+18+6= \\ xyz+3xy+3xz+3yz+9x+9y+9z+24[/tex]
Ambele parti sunt egale deci legea este asociativa.
e)
[tex]x*x=13 \\ x^2+6x+6=13 \\ x^2+6x-7=0 \\ D=36+28=64 \\ x_1= \frac{-6+ \sqrt{D} }{2}=1 \\ x_2= \frac{-6- \sqrt{D} }{2}=-7[/tex]
