Pentru a face un exercitiu cu progresia aritmetica ai nevoie de urmatoarele formule:
r=ratia
[tex] a_{n} [/tex] este termenul general
[tex] a_{n+1} = a_{n}+r[/tex]
[tex] a_{n} = \frac{ a_{n+1}+ a_{n-1} }{2} [/tex]
[tex] S_{n}= \frac{( a_{1}+ a_{n})*n }{2} [/tex] (am folosit * pentru ori)
sau [tex] S_{n}= \frac{[2 a_{1}+(n-1)r]n }{2} [/tex]
Folosind aceste formule,se rezolva exercitiul:
[tex] a_{6}= a_{1} + 5r[/tex]
[tex] a_{9} = a_{1} + 8r[/tex]
[tex] a_{12}= a_{1}+11r[/tex]
[tex] a_{15}= a_{1}+14r[/tex]
Stim ca suma termenilor de mai sus este 20,deci:
[tex] a_{6}+ a_{9}+ a_{12} + a_{15} = 20[/tex] ⇒
[tex] a_{1}+5r+ a_{1}+8r+ a_{1} +11r+ a_{1} + 14r = 20[/tex]⇒
[tex]4 a_{1} + 38r = 20[/tex]
Impartim relatia la 2 ⇒
[tex]2 a_{1} +19r=20[/tex] si retinem aceasta relatie pt ca o vom folosi mai tarziu
[tex] S_{20}= \frac{ (a_{1}+ a_{20})*20 }{2} [/tex] , conform formulelor de la inceput
[tex] S_{20} = ( a_{1}+ a_{20})*10 [/tex] (am simplificat 20 cu 2 si am ramas cu 10 )
[tex] a_{20} = a_{1}+19r [/tex] ⇒ [tex] S_{20} =( 2 a_{1} + 19r)*10[/tex]
Dar anterior am determinat [tex]2 a_{1} + 19 r [/tex] ca fiind 20(relatia pe care trebuia sa o retii din prima suma)
Deci [tex] S_{20} = 20*10[/tex] , adica 200
Raspunsul este 200
