a) Un număr nu este pătrat perfect şi folosind “teorema împărţirii cu rest"
Dacă un număr are forma: 3p,3p+1 sau 3p+2, p , atunci pătratul său are forma 3k sau 3k+1
Daca suma cifrelor numarului este 105 atunci este divizibil cu 3, deci e de forma 3k;
DAR
Un numar este patrat perfect daca, la descompunerea in factori primi, toti exponentii factorilor primi sunt dublati de ex 3*3*2*2*5*5. Daca un singur exponent nu este numar par atunci numarul nu este patrat perfect
Nu trebuie sa descompunem numarul in factori primi. Este suficient sa gasim un numar prim "p", care sa fie divizor al numarului dar "p²" sa nu fie divizor al numarului si atunci am demonstrat ca unul din factorii primi este la puterea 1 care este putere impara. Rezulta ca numarul nu este patrat perfect.
=> numarul se imparte la 3 dar nu se imparte la 9 (9 = 3²) deoarece cf criteriului de divizibilitate cu 9, suma cifrelor numaruluieste 105 si nu e divizibil cu 9 => 3 este un factor prim la puterea 1, putere impara.
=> numarul nu este patrat perfect.
Analog, Un numar este cub perfect daca, la descompunerea in factori primi, toti exponentii factorilor primi sunt triplati de ex 3*3*3*2*2*2*5*5*5. Daca un singur exponent nu este triplat atunci numarul nu este cub perfect . De vreme ce 105 nu-l divide nici macar pe 9 (adica nu gasim nici 3*3) , iseamna ca nu vom gasi unul din exponenti triplat si anume 3*3*3, deci numarul nu este cub perfect.
b)un nr nat care inmultit cu 4 da patratul unui numar nat ⇒a*4=b²
si imultit cu 48 da cubul aceluiasi nr nat ⇒a*48=b³ ⇒
a*48=b*b²
a*48=b*a*4
⇒b=48a:4a=12
Deci a*4=12²=144
=> a=36 este numarul cautat
Verificare 36*48=1728=12³ Corect!
