Răspuns :
Doua triunghiuri asemenea au laturi proportionale dar si unghiurile egale.
Atunci stii ca [tex]\widehat{ABC}=\widehat{DEF}[/tex](1)
Ducem inaltimile din A pe BC, o notam cu M, si din D pe EF, o notam cu N
Atunci o sa avem triunghiurile dreptunghice AMB si DNE cu [tex]\widehat{AMB}=\widehat{DNE}=90[/tex] fiecare cu catetele AB,MB respectiv DN,NE si ipotenuzele AB, respectiv BE
Mai stim ca sinusul unui unghi in triunghi dreptunghic are formula
[tex]\sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}[/tex]
Aplicam la cele doua triunghiuri pentru unghiurile ABC si DEF
[tex]\sin{ABM}=\frac{AM}{AB}[/tex]
[tex]\sin{DEN}=\frac{DN}{BE}[/tex]
Din (1), cum am spus, sunt unghiuri egale, deci si sinusurile sunt egale
Atunci
[tex]\frac{AM}{AB}}=\frac{DN}{BE}\Rightarrow \frac{AM}{DN}=\frac{AB}{BE}=3[/tex]
Laturile sunt proportionale, deci raportul lor este egal
[tex]\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=3[/tex]
Avem toate datele acum sa facem raportul ariilor
A_ABC/A_DEF=AM*AB/DN*BC=AM/DN*AB/BC=3*3=9
Atunci stii ca [tex]\widehat{ABC}=\widehat{DEF}[/tex](1)
Ducem inaltimile din A pe BC, o notam cu M, si din D pe EF, o notam cu N
Atunci o sa avem triunghiurile dreptunghice AMB si DNE cu [tex]\widehat{AMB}=\widehat{DNE}=90[/tex] fiecare cu catetele AB,MB respectiv DN,NE si ipotenuzele AB, respectiv BE
Mai stim ca sinusul unui unghi in triunghi dreptunghic are formula
[tex]\sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}[/tex]
Aplicam la cele doua triunghiuri pentru unghiurile ABC si DEF
[tex]\sin{ABM}=\frac{AM}{AB}[/tex]
[tex]\sin{DEN}=\frac{DN}{BE}[/tex]
Din (1), cum am spus, sunt unghiuri egale, deci si sinusurile sunt egale
Atunci
[tex]\frac{AM}{AB}}=\frac{DN}{BE}\Rightarrow \frac{AM}{DN}=\frac{AB}{BE}=3[/tex]
Laturile sunt proportionale, deci raportul lor este egal
[tex]\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=3[/tex]
Avem toate datele acum sa facem raportul ariilor
A_ABC/A_DEF=AM*AB/DN*BC=AM/DN*AB/BC=3*3=9
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!