Ducem diagonala AC. ABCD este dreptunghi, deci stim ca AB=CD=10 si
[tex]BC=AD=10\sqrt{3}[/tex] deci stim ca triunghiul ADC este dreptunghic cu
[tex]\widehat{ADC}=90[/tex] cu catetele CD si AD si ipotenuza AC. Folosindu-ne de teorema lui Pitagora:
[tex]AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}=10^{2}+3*10^{2}=4*10^{2}\Rightarrow AC=2*10=20[/tex]
Stim ca aria unui triunghi dreptunghic este produsul catetelor/2 sau inaltime*ipotenuza pe 2, exact cum ti-am scris la problema cu trapezul
Aplicand aceeasi formula pentri triunghiul dreptunghic ABC, obtinem
[tex]A_{ABC}=\frac{AB*BC}{2}=\frac{BM*AC}{2}\Rightarrow BM=\frac{AB*BC}{AC}=\frac{10*10'\sqrt(3)}{20}=5\sqrt{3}[/tex]
Stim ca BM este perpendicular pe AC, rezulta ca BMA este triunghi dreptunghic cu [tex]\widehat{BMA}=90[/tex] cu BM si AM catete si AB este ipotenuza. Folosind teorema lui pitagora
[tex]AM^{2}=AB^{2}-BM^{2}=10^{2}-3*5^{2}=100-75=25\Rightarrow AM=5[/tex]
Acum ne uitam la unghiul DAC si aplicam formula pentru cos in doua triunghiuri dreptunghice
In general:
[tex]\cos=\frac{cateta alaturata}{ipotenuza}[/tex]
Aplicam formula pentru unghiul DAC din triunghiul dreptunghic ADC
[tex]\cos{DAC}=\frac{AD}{AC}[/tex]
Dar observam ca [tex]\widehat{DAC}=\widehat{DAM}=\widehat{NAM}[/tex] practic este acelasi unghi
Stim ca NM este perpendicular pe AM(BN intreg este perpendicular pe AM)
atunci
[tex]\widehat{NAM}=90[/tex] de unde rezulta ca NAM este dreptunghic, cu AM si NM sunt catete, si AN este ipotenuza
Atunci
[tex]\cos{NAM}=\frac{AM}{AN}[/tex]
Dar stim si ca
[tex]\cos{DAC}=\frac{AD}{AC}[/tex]
Si cele doua unghiuri sunt egale. Atunci
[tex]\frac{AM}{AN}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AN=\frac{AM*AC}{AD}=\frac{5*20}{10\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}[/tex]
b) Putem afla ariile celor doua triunghiuri
[tex]A_{ADC}=\frac{AD*DC}{2}={10*10\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}[/tex]
In celalalt triunghi avem nevoie de ambele catete sa o putem determina. AM este cunoscut, MN trebuie calculat din teorela lui Pitagora
[tex]MN^{2}=AN^{2}-AM^{2}=\frac{100*3}{9}-25=\frac{300-225}{9}=\frac{75}{9}\Rightarrow MN=\frac{5\sqrt{3}}{3}[/tex]
Atunci [tex]A_{AMN}=\frac{AM*MN}{2}={5*5\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}[/tex]
Atunci raportul devine
[tex]\frac{A_{AMN}}{A_{ADC}}=\frac{\frac{25\sqrt{3}}{4}}{50\sqrt{3}}=\frac{1}{8}[/tex]
