Răspuns :
Formula care se aplica este:
[tex]\frac{1}{k*(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\\[/tex]
Aceasta se demonstreaza foarte usor aducand la acelasi numitor in membrul drept.
Aplicam aceasta formula succesiv pentru k=1,2,3,...,2011:
[tex]\frac{1}{1*2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2*3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3*4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\\ ........................\\ \frac{1}{2010*2011}=\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}\\ \frac{1}{2011*2012}=\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\\[/tex]
Se aduna relatiile membru cu membru, in membru doi obtinem o suma telescopica, si avem in final ca:
S=1-1/2012<1, unde cu S am notat suma data. O suma telescopica este o suma in care doi termeni consecutivi se reduc reciproc astfel incat sa ramana in final doi termeni.
[tex]\frac{1}{k*(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\\[/tex]
Aceasta se demonstreaza foarte usor aducand la acelasi numitor in membrul drept.
Aplicam aceasta formula succesiv pentru k=1,2,3,...,2011:
[tex]\frac{1}{1*2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2*3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3*4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\\ ........................\\ \frac{1}{2010*2011}=\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}\\ \frac{1}{2011*2012}=\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\\[/tex]
Se aduna relatiile membru cu membru, in membru doi obtinem o suma telescopica, si avem in final ca:
S=1-1/2012<1, unde cu S am notat suma data. O suma telescopica este o suma in care doi termeni consecutivi se reduc reciproc astfel incat sa ramana in final doi termeni.
Formula pentru a rezolva acest exercitiu este 1/k·[k+1]=1/k-1/k+1;
1/1·2+1/2·3+...+1/2011·2012
[1/1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/2011-1/2012]⇒se reduce ce este comun;
⇒1/1-1/2012=1-1/2012;
⇒1-1.2012<1[deoarece 1=1 ,dar 1/2012<1 ,unde este folosit semnul plus nu minus];
1/1·2+1/2·3+...+1/2011·2012
[1/1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/2011-1/2012]⇒se reduce ce este comun;
⇒1/1-1/2012=1-1/2012;
⇒1-1.2012<1[deoarece 1=1 ,dar 1/2012<1 ,unde este folosit semnul plus nu minus];
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!