👤
CHOCKOFTWVIZ
a fost răspuns

Se considera sirul de integrale cu termenul general [tex]I[/tex] indice [tex]n[/tex][tex]=[/tex][tex]\int\limits^1_0 {(1-x^{2})^{n} } \, dx [/tex]. Demonstrati ca sirul este convergent.

Răspuns :

INCOGNITOVIZ
[tex]x\in[0,1]\Rightarrow 1-x^2 \in[0,1]\Rightarrow (1-x^2)^n\ \textgreater \ (1-x^2)^{n+1} [/tex]
Integram pe [0,1] si obtinem ca sirul [tex](I_n)[/tex] este descrescator.
Aplicam de asemenea proprietatea de monotonie a integraelei pentru inegalitatile
[tex]0\ \leq \ (1-x^2)^n\ \leq \ 1[/tex]
si obtinem ca 
[tex]0\leq I_n\leq 1,\forall n\in N[/tex]
Deci sirul [tex](I_n)[/tex] este si marginit
Conform teoremei lui Weierstrass sirul [tex](I_n)[/tex] este convergent

Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari