1.Fie intersectiile bisectoarelor M,N P,Q ( vezi desen)
Fiindca <DAB=<DCB, si <ABC=<ADC
⇒ 2*<ABC+2*BCD=360
⇒<ABC+BCD=180
⇒<ABC/2+BCD/2=90
in ΔBPC, <PBC=ABC/2, si <BCP=BCD/2⇒
<PBC+<BCP=90⇒ <BPC=90
De asemenea in ΔADM
<MAD+<ADM=<BAD/2+<CDA/2=90⇒
<AMD=90
Daca MNPQ are 2 unghiuri opuse de 90°
si MN||PQ si PN||QM => MN=PQ si NP=MQ⇒
MNPQ=dreptunghi
2.Aratati ca mijloacele laturilor unui patrulater convex ortodiagonal sunt varfurile unui dreptunghi
Un patrulater ortodiagonal este un patrulater cu diagonalele perpendiculare.
Fie Patrulaterul ABCD, si mijloacele laturilor M,N,P,Q-(vezi atasament )
In ΔDAC, DQ=QA si DP=PC⇒
DQ/DA=DP/PC=QP/AC ⇒QP||AC si QP=AC/2
in ΔBAC, BM=MA si BM=NC⇒
MB/BA=BN/BC=MN/AC => MN||AC si MN=AC/2
In ΔABD
AQ=QD si AM=MB ⇒ AQ/AD=AM/AB=MQ/BD
⇒MQ||BD si MQ=BD/2
in ΔCDB , unde DP=PC si BN=NC⇒
CN/BC=CP/CD=PN/BD⇒
PN||DB si PN=BD/2
Deci,
Daca QM||DB||PN si QP||AC||MN si AC_|_BD=>
PN_|_MN, MN_|_QM , QM_|_QP si QP_|_PM ,
Iar PN=QM=BD/2 si QP=MN=AC/2=>
MNPQ este dreptunghi
