a) de vreme ce E,F,G si H sunt mijloacele laturilor, iar trapezul este isoscel (AD=BC, si <A=<B, si <C=<D) atunci EH=EF, si HG=GF
ca demonstratie :
- comparam ΔAHE cu ΔEBF, unde avem cazul L.U.L , adica AE=EB, <EAH=<EBF si AH=BF =>EH=EF
comparam ΔHDG cu ΔFGC, unde avem cazul L.U.L , adica HD=FC, <HDG=<FCG si DG=GC =>HG=GF
Iar de vreme ce AB || HF || DC
Notam cu V intersectia EG cu HF
Comparam ΔEHV cu ΔVHG: EV=VG, HV=HV, <EVH=<HVG=90 => EH=HG
Si daca nu este de ajuns ca Patrulatrul EFGH are toate laturile egale iar diagonalele perpendiculare sa-l definim ca patrat, demonstram ca diagonalele sunt si egale:
Daca AC_|_ BD, notam intersectia lui AC cu BD cu O, si avem:
in ΔAOB, <O=90, avem : AB²=AO²+OB²=2AO² => AB=AO√2
in ΔODC, <O=90 avem :DC²=OD²+OC²=2OC² => DC=OC√2
Arie trapez =(AB+AC)*EG/2=(AO√2+OC√2)*EG/2= √2*(AO+OC)*EG/2=AC*EG*√2/2
Arie trapez = AC*BD*(sin <O)/2=AC²/2
=>AC*EG*√2/2=AC²/2 => EG*√2=AC => EG=AC/√2=AC√2/2
Dar HF=(AB+CD)/2=(AO√2+OC√2)/2=(AO+OC)*√2/2=AC*√2/2
=> HF=EG
in Patrulaterul EFGH, avem diagonalele congruente si perpendiculare , iar laturile sunt congruente , atunci EFGH este patrat.
b) Am demonstrat ca HF=EG
Aria trapez este HF*EG=EG²
