O funcţie este mărginită când putem încadra imaginea ei într-un interval finit, având astfel un minim şi un maxim ( deci da, la asta se referea acel m şi M despre care vorbeai )... Pentru a afla acest minim/maxim, trebuie să calculezi derivata funcţiei, să o egalezi cu 0 şi să afli punctele în care funcţia îşi schimbă semnul (deoarece cu ajutorul derivatei îţi dai seama de monotonie).
Presupun că cel mai bine înţelegi cu un exemplu...
[tex]f: (0,+infinit), \ \ \ \ f_{(x)}=x-2\ ln \ x[/tex]
Dacă ne-ar pune să demonstrăm că această funcţie este măginită inferior, ar trebui să demonstrăm că are un minim, adică un m pentru care este adevărată relaţia: f(x) > m.
Mai întâi calculăm derivata:
[tex]f'_{(x)}=1- 2\frac{1}x} =\frac{x-2}x} \\ f'_{(x)}=0 <=> x-2=0=> x=2[/tex]
[tex]f_{(2)}=2-2ln2[/tex]
Acum că avem aceste valori, facem tabelul. De asemenea, în el trebuie să adăugăm şi limitele pentru captele funcţiei. Dacă ea este definită pe (0,+infinit), atunci calculăm limita din fiecare. (am lăsat poza în ataşament)
lim x->0 f(x) = infinit
lim x->+infinit f(x) = infinit
Se observă că pe intervalul (0,2) funcţia scade, iar de la (2,infinit) creşte. În punctul x=2 aceasta îşi schimbă semnul şi este un punct de minim (deoarece până acolo funcţia a tot scăzut, până la o valoare minimă...).
Revenind la exemplul tău, acolo trebuia să demonstrezi că DERIVATA funcţiei este mărginită. Pentru asta trebuie să calculezi derivata derivatei, adică derivata de ordinul 2.
[tex]f'(x) = arctg x - \frac{x}{x^2 +1}[/tex]
[tex]f''(x)= \frac{2x^2}{ (x^2+1)^2}[/tex]
[tex]f''(x) = 0 => x=0 \\ f'(0) = 0[/tex]
Funcţia f''(x) este strict pozitivă, deci f'(x) este crescătoare. În 0 funcţia nu îşi schimbă semnul, deci nu este nici minim nici maxim.
Mai avem de calculat limitele pentru captele funcţiei (presupun că funcţia e definită pe (-infinit,+infinit)):
[tex]lim_{ x->-infinit} f'(x) = -\frac{ \pi }{2}[/tex]
[tex]lim_{x->infinit} f'(x) = \frac{ \pi }{2}[/tex]
Uită-te în a doua imagine pentru tabelul funcţiei. Funcţia este crescătoare peste tot, de la -pi/2, la pi/2, deci imaginea funcţiei va fi mărginită de aceste valori...
