Determinarea ultimei cifre a numerelor:
[tex]a) \\ 7+7^{2}+7^{3}+......+7^{43} \\ 7^{1}=7 \\ 7^{2}=49 \\ 7^{3}=343 \\ 7^{4}=2401 \\ 7^{5}=16807 \\ 7^{7}=117649[/tex]
puterile lui 7 au ultima cifra seturi de cate 4: 7,9,3,1
[tex]\frac{43}{4}=10[/tex] rest 3
ultima cifra a sumei:
[tex](7+9+3+1)*10+7+9+3=20*10+19=200+19=219[/tex]
ultima cifra a lui [tex]7+7^{2}+7^{3}+.......+7^{43}[/tex] este 9
[tex]b) \\ 3^{0}+3^{1}+3^{2}+3^{3}+.......+3^{42} \\ 3^{1}=3 \\ 3^{2}=9 \\ 3^{3}=27 \\ 3^{4}=81 \\ 3^{5}=243 \\ 3^{6}=729[/tex]
puterile lui 3 au ultima cifra seturi de cate 4: 3,9,7,1.
[tex]\frac{42}{4}=10[/tex] rest 2
ultima cifra a sumei:
[tex]3^{0}+(3+9+7+1)*10*+3+9=1+20*10+12=13+200=213 [/tex]
ultima cifra a lui [tex]3^{0}+3^{1}+3^{2}+3^{3}+.....+3^{42}[/tex] este 3
[tex]c) \\ 8+8^{2}+8^{3}+.....+8^{88} \\ 8^{1}=8 \\ 8^{2}=64 \\ 8^{3}=512 \\ 8^{4}=4096 \\ 8^{5}=32768[/tex]
puterile lui 8 au ultima cifra seturi de cate 4: 8,4,2,6.
[tex]\frac{88}{4}=22[/tex] rest 0
ultima cifra a sumei:
[tex](8+4+2+6)*22=20*22=440[/tex]
ultima cifra a lui [tex]8+8^{2}+8^{3}+........+8^{88}[/tex] este 0
