Avem de demonstrat ca :
x³ +y³ +z³ ≥ 3xyz x,y,z ∈ (0, ∞)
adica
x³ +y³ +z³ -3xyz ≥0 x,y,z ∈ (0, ∞)
Exista urmatoarea formula algebrica :
a³ +b³ +c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² + c² -ab -bc - ca)
⇒ x³ +y³ +z³ - 3xyz = (x+y+z)(x² +y² +z² - xy - yz - xz)
Atunci avem de demonstrat ca :
(x+y+z)(x² +y² +z² -xy -yz - xz) ≥0
↓
>0
Cum x,y,z >0
⇒ (x+y+z) >0
ramane doar sa demonstram ca expresia din cea de-a doua paranteza este ≥0
x² +y² +z² -xy -yz - xz ≥ 0
adica
x² +y² +z² ≥ xy +yz +xz
(se stie ca acest lucru este adevarat , oricare ar fi x,y,z ∈ R dar mai jos putem si demonstra)
inmultim in ambele parti cu 2 si mutam totul in stanga :
⇒2x² +2y² +2z² -2xy -2yz -2xz ≥0
grupam convenabil termenii, astfel incat sa obtinem o suma de patrate perfecte:
x² -2xy +y² + y² -2yz +z² + x² - 2xz + z² ≥ 0
↓ ↓ ↓
(x - y)² + (y - z)² + (x - z )² ≥ 0 adevarat, pentru orice x,y,z ∈ R
ceea ce, evident, este valabil si ptr x,y,z ∈ (0,∞) intrucat acest interval
este ⊂ in R
