Răspuns :
ultima cifra a lui 5 la orice putere este 5
[tex] 3^{1}=3 [/tex]
[tex] 3^{2} =9[/tex]
[tex] 3^{3}=27 [/tex]⇒ ultima cifra 7
[tex] 3^{4} =81[/tex]⇒ultima cifra 1
cifrele se repeta din 4 in 4
2013:4=503 rest 1⇒ultima cifra a lui[tex] 3^{2013} [/tex] este ultima cifra a lui [tex] 3^{1} [/tex] adica 3
[tex] 3^{1}=3 [/tex]
[tex] 3^{2} =9[/tex]
[tex] 3^{3}=27 [/tex]⇒ ultima cifra 7
[tex] 3^{4} =81[/tex]⇒ultima cifra 1
cifrele se repeta din 4 in 4
2013:4=503 rest 1⇒ultima cifra a lui[tex] 3^{2013} [/tex] este ultima cifra a lui [tex] 3^{1} [/tex] adica 3
Ideea este sa calculezi cateva dintre puterile celor doua numere si vezi ca ultima cifra a numerelor obtinute apare cu o anumita periodicitate:
Notam cu u(N) ultima cifra a numarului N
5^1=5,5^2=25,5^3=125,..............
u(5^1)=5, u(5^2)=5,u(5^3)=5 .........
Observam ca orice putere a numarului 5 are ultima cifra 5.
3^1=3 3^5=243
3^2=9 3^6=729
3^3=27 3^7=2187
3^4=81 3^8=6561
Putem generaliza si afirma ca
[tex] u(3^{4k+1})=3\\ u(3^{4k+2})=9\\ u(3^{4k+3})=7\\ u(3^{4k})~~~=1[/tex]
Cu alte cuvinte ultima cifra a lui 3 la o putere se repeta din 4 in 4:
_ daca restul impartirii exponentului la 4 este 0 ultima cifra este 1
_ daca restul impartirii exponentului la 4 este 1 ultima cifra este 3
_ daca restul impartirii exponentului la 4 este 2 ultima cifra este 9
_ daca restul impartirii exponentului la 4 este 3 ultima cifra este 7
Nu ne ramne sa aplicam regula de mai sus si sa impartim 2013 la 4. Cum restul impartirii numarului 2013 la 4 este 1, rezulta ca
[tex]u(3^{2013})=3[/tex]
Notam cu u(N) ultima cifra a numarului N
5^1=5,5^2=25,5^3=125,..............
u(5^1)=5, u(5^2)=5,u(5^3)=5 .........
Observam ca orice putere a numarului 5 are ultima cifra 5.
3^1=3 3^5=243
3^2=9 3^6=729
3^3=27 3^7=2187
3^4=81 3^8=6561
Putem generaliza si afirma ca
[tex] u(3^{4k+1})=3\\ u(3^{4k+2})=9\\ u(3^{4k+3})=7\\ u(3^{4k})~~~=1[/tex]
Cu alte cuvinte ultima cifra a lui 3 la o putere se repeta din 4 in 4:
_ daca restul impartirii exponentului la 4 este 0 ultima cifra este 1
_ daca restul impartirii exponentului la 4 este 1 ultima cifra este 3
_ daca restul impartirii exponentului la 4 este 2 ultima cifra este 9
_ daca restul impartirii exponentului la 4 este 3 ultima cifra este 7
Nu ne ramne sa aplicam regula de mai sus si sa impartim 2013 la 4. Cum restul impartirii numarului 2013 la 4 este 1, rezulta ca
[tex]u(3^{2013})=3[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!