a) Ducem inaltmile din C si D pe baza AB si le notam cu M si N, astfel avem
CM=DN=h=inaltimea trapezului CMND este dreptunghi, atunci CD=MN
AC perpendicular pe BC, inseamna ca triunghiul ACB este dreptunghic cu [tex]\widehat{ACB}=90[/tex] unde AC si CB sunt catetele, si AB este ipotenuza
Putem sa aflam pe BC folosindu-ne de teorema lui Pitagora
[tex]BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=25^{2}-20^{2}=625-400=225\Rightarrow BC=15[/tex]
Aria unui triunghi dreptunghic poate fi aflata in doua feluri
[tex]A_{\triangle dreptunghic}=\frac{cateta1*cateta2}{2}=\frac{h*ipotenuza}{2}[/tex]
Aplicand in cazul nostru
[tex]A_{ACB}=\frac{AC*BC}{2}=\frac{CM*AB}{2}\RightarrowCM=\frac{AC*BC}{AB}=\frac{20*15}{25}=4*3=12[/tex]
CM perpendicular pe AB, atunci stim ca triunghiul CMB este dreptunghic cu
[tex]\widehat{CMB}=90[/tex] catetele sunt CM,MB, si ipotenuza este BC. Aflam acum cat este MB tot din teorema lui Pitagora
[tex]MB^{2}=BC^{2}-CM^{2}=15^{2}-12^{2}=225-144=81\Rightarrow MB=9[/tex]
Atunci stim ca:[tex]AN=AB-MN-MB=AB-CD-MB=25-11-9=5[/tex]
Triunghiul DNA este dreptunghic, deoarece DN perpendicular pe AB cu
[tex]\widehat{DNA}=90[/tex] si catetele DN,AN si ipotenuza AD
stim ca DN=CM=12
Aplicam din nou teorema lui Pitagora
[tex]AD^{2}=AN^{2}+DN^{2}=5^{2}+12^{2}=25-144=169\Rightarrow AD=13[/tex]
b) Formula generala pentru aria unui trapez este
[tex]A='\frac{Baza mare+baza mica}{2}h[/tex]
Inlocuind cu termenii de la noi
[tex]A_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}CM=\frac{25+11}{2}12=18*12=216[/tex]
c) Distanta de la D la AC sa notam intersectia cu P
folosindu-ne de formula ariei unui triunghi
[tex]A_{\triangle}=\frac{baza*h}{2}[/tex]
pwntru triunghiul ADC, avem aria
[tex]A_{ADC}=\frac{AC*DP}{2}[/tex]
Dar in acelasi timp vedem ca
[tex]A_{ABCD}=A_{ADC}+A_{ABC}[/tex]
Ultima, poate fi calculata cu formula generala de am scris-o mai sus
[tex]A_{ABC}=\frac{AC*BC}{2}=\frac{20*15}{2}=150[/tex]
Atunci
[tex]A_{ADC}=A_{ABCD}-A_{ABC}=216-150=66[/tex]
Folosind formula de calcul a ariei de mai sus
[tex]A_{ADC}=\frac{AC*DP}{2}=\frac{20DP}{2}=10DP=66\Rightarrow DP=6.6[/tex]
