Piramida triunghiulara regulata VABC are muchia VA=12√3 si inaltimea VO=18 cm.
a)Aratati ca apotema piramidei este rgala cu 3√39 cm.
b)Calculati distanta dr la centrul bazei O la o fata laterala.
c)Determinati masura unghiului format de o muchie laterala cu planul bazei.

URGENTT

a)In tr dr. VAO aplic Pitagora AO^2=AV^2-VO^2=432-324=108 => AO=[tex]6 \sqrt{3} [/tex]
Apoi [tex]AO= \frac{2}{3}AM [/tex] unde M este mijlocul lui BC. AM=[tex]6 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{2} =9 \sqrt{3} \\ OM= \frac{1}{3} AM=3 \sqrt{3} [/tex]
In tr dr VOM aplic Pitagora [tex]VM^2=VO^2+OM^2=324+27=351=9\cdot 39 \\ VM=3\sqrt{39}[/tex]
b)Ducem [tex]ON\perp VM \\ BC\perp VM,BC\perp OM =\ \textgreater \ BC\perp(VOM) \\ ON \ inclusa\ in\ (VOM)=\ \textgreater \ \\ BC\perp ON \\ ON\perp VM \\ ON\perp BC=\ \textgreater \ ON\perp (VBC)=\ \textgreater \ d[O,(VBC)]=ON \\ [/tex]
In tr VOM aplic teorema a doua a inaltimii
[tex]ON= \frac{VO\cdot OM}{VM}= \frac{18\cdot3 \sqrt{3} }{3 \sqrt{39} }= \frac{18}{ \sqrt{13} } [/tex]
c) Proiectia lui VA pe planul bazei este Ao ,deci unghiul cautat este VAO
In tr VAO
[tex]VA=12 \sqrt{3} ,AO=6 \sqrt{3} =\ \textgreater \ m(\ \textless \ AOV)=30 ^{0} =\ \textgreater \ m(\ \textless \ VAO)=60 ^{0} [/tex]

a)  TP in triunghiul  VOC ( sa afli OC ) 

OC  este 2/3 din  toata inaltimea CM ( M apart. AB )

Deci h in ABC este 9 radical din 3

OF ( F apart. BC ) = 3 rad. din 3  Rezulta  TP VOF - afli Ap = 3Rad din 39

b) Sistem de ecuatii cu 2 nec. ( TP in OGV si OGM )

Se aduna  si ajungem la OGpatrat = 351  sau OG = 3rad. din 39

c) Tg de VAO = 18/6rad3   unghi  VAO = rad din 3   deci este de 60 de grade